Bài 72 trang 88 sbt Toán 8 tập 1
Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó.
Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải:
Hướng dẫn
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cách dựng:
- Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox
- Dựng điểm E đối xứng với A qua Oy
Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C
Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất
Vì (xOy) < 90 nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ΔABC luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi ΔABC bằng AB + BC + AC
Vì D đối xứng với A qua Ox nên OX là trung trực của AD
⇒ AB = BD (tính chất đường trung trực)
E đối xứng với A qua Oy là trung trực của AE
⇒ AC = CE (tính chất đường trung trực)
Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + BE = DE (1)
Lấy B' bất kì trên Ox, C' bất kì trên tia Oy. Nối C'E, C'A, B'A, B'D.
Ta có: B'A = B'D và C'A = C'E (tính chất đường trung trực)
Chu vi ΔAB'C' bằng AB'+ AO + B'C'= B'D+ B'C'+ C'E (2)
Vì DE ≤ B'D + B'C' + C'E (dấu bằng xảy ra khi B' trùng B, C' trùng C) nên chu vi của ΔABC ≤ chu vi của ΔA'B'C'
Vậy ΔABC có chu vi bé nhất.
Xem toàn bộ Giải SBT Toán 8: Bài 6. Đối xứng trục