Bài 158 trang 100 sbt Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b. Các tứ giác ADBM, ADCN
c. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A.
d. Tam giác ABC có điều kiện gìthì tứ giác AEDF là hình vuông.
Lời giải:
Hướng dẫn
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Tính chất về các cạnh và góc của hình thoi; hình vuông.
a. Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB
Suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD
⇒ AB ⊥ DM ⇒ (AED) = 90o
Điểm D và điểm N đối xứng qua trục AC ⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN ⇒ AC ⊥ DN ⇒ (AFD) = 900
Mà (EAF) = 90o (gt). Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
b. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật
⇒ DE // AC; DF // AB
Trong ∆ABC, ta có: DB = DC (gt)
Mà DE // AC
Suy ra: AE = EB (tỉnh chất đường trung bình của tam giác)
Lại có: DF // AB
Suy ra: AF = FC (tỉnh chất đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBM, ta có: AE = EB (chứng minh trên)
ED = EM (vì AB là trung trực DM)
Suy ra tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Mặt khác: AB ⊥ DM
Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)
Xét tứ giác ADCN, ta có: AF = FC (chứng minh trên)
DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)
Suy ra tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Lại có: AC ⊥ DN
Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
c. Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD
Hay AM // BC và AM = AD (1)
Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN
Hay AN // BC và AN = AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng
Và AM = AN nên A là trung điểm của MN
Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.
d. Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF
Ta có: AE = 1/2 AB; AF = 1/2 AC
Nên AE = AF ⇒ AB = AC
Vậy nếu ∆ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.
Xem toàn bộ Giải SBT Toán 8: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học