Bài 49 trang 100 SGK Đại Số 10 nâng cao

Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Bài 49 (trang 100 SGK Đại Số 10 nâng cao)

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Lời giải:

Gọi hàm số bậc hai có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Do thỏa mãn điều kiện (a) nên ta có ngay c = -4. Mặt khác f(2) = 6 nên ta có : 6 = 4a + 2b + c hay 2a + b = 5(1)

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b² – 4ac > 0 ⇔ b² + 16a > 0

Gọi các nghiệm là x₁, x₂ ta có:

|x₁ – x₂| = 5 ⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 25 (2)

Ta có : x₁ + x₂ = -b/a; x₁.x₂ = c/a = -4/a nên (2) trở thành :

b²/a² +16/a=25 ⇔ b² + 16a = 25a² (2)

Giải hệ (1) và (2) ta có : a = 1 và b = 3 hoặc a = -25/21 và b = 155/21.

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện b² + 16a > 0.

Ta có hai hàm số bậc hai cần tìm là:

y = x² + 3x – 4; y = -(25/21)x² + (155/21).x – 4

Tham khảo toàn bộ: Giải bài tập Toán 10 nâng cao