Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Bài 3: Hệ thức lượng giác trong tam giác

Bài 30 (trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Lời giải:

Trong tam giác ABD ta có:

AB² + AD² = 2AN² + BD²/2 (1)

Trong tam giác CBD ta có :

CD² + CB² = 2CN² + BD²/2 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :

AB² + BC² + CD² + DA² = 2(AN² + CN²) + BD²(3)

Xét tam giác CAN ta có :

AN² + CN² = 2MN² + AC²/2 (4) vì M là trung điểm AC)

Thay (4) vào (3) ta được :

AB² + BC² + CD² + DA² = 2[2MN² + AC²/2] + BD² = AC² + BD² + 4MN²

^{Tham khảo toàn bộ: Giải bài tập Toán 10 nâng cao}