Công thức tính nhanh Đại số 12 Chương 1

1. Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu +)

+ Tập xác định:

+ Đạo hàm:

- Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình tìm nghiệm.

+ Bảng biến thiên:

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

+ Vẽ đồ thị:

2. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

    Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

    Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

    Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước

    Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b)

4. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

    Ta có y' = 3ax² + 2b x + c

    - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ b² - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :  

Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 

Hoặc sử dụng công thức: 

    - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

5. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) xác định trên 1 đoạn [a;b]

- Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

- Tính đạo hàm .

Giải phương trình y = 0 . Tìm các nghiệm xi ∈ [a;b] (i = 1,2,3....)

- Tính y(a) , y(b) , y(x_i)

- So sánh và kết luận.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng (a;b),(a;+∞),(-∞;b),[a;b),(a;b] …

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.

6. Quy tắc tìm giới hạn vô cực

    Quy tắc tìm GH của tích f(x).g(x)

7. Quy tắc tìm giới hạn của thương 

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x₀ )

Chú ý : Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

8. Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .

Biến đổi phương trình h(x,m) = 0 về dạng f(x) = g(m) (*).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị :

- Bảng kết quả :

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)

9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₀(x₀; y₀) là: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng: 

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm

- Tính đạo hàm y'

- Thay x₀ vào y tính y₀

- Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y₀ .

- Giải phương trình f(x₀) = y₀ tìm x₀ .

- Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .

- Giả sử tiếp điểm là M₀(x₀; y₀)

- Giải phương trình f'(x₀) = k tìm x₀ .

- Thay x₀ vào y ta tìm được y₀ .

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý:

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f'(x₀) = a .

- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì