Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2

1. Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình

Trong một số trường hợp, đặt 

2. Chú ý

- Khi a>0 và phương trình ax² + bx +c = 0 vô nghiệm thì biểu thức ax² + bx +c > 0 với mọi giá trị của x.

- Nếu phương trình ax² + bx +c = 0 có a<0 thì nên đổi dấu hai vế của phương trình để có a>0, khi đó dể giải hơn.

- Đối với phương trình bậc hai khuyết ax² + bx =0, ax² + c = 0 nên dùng phép giải trực tiếp sẽ nhanh hơn. 

3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax² + bx +c = 0 (a≠0) với b=2b′ và biệt thức 

Trường hợp 1. Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép 

Trường hợp 3. Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

4. Các dạng toán thường gặp về công thức nghiệm thu gọn

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai 

Trường hợp 1. Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép 

Trường hợp 3. Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp:

Xét phương trình bậc hai dạng ax² + bx +c = 0 với b = 2b'

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai (dùng một trong hai công thức: công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn)

Phương pháp:

* Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

Xét phương trình bậc hai 

Trường hợp 1. Nếu Δ<0 hoặc (Δ′<0) thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu Δ=0 hoặc (Δ′=0) thì phương trình có nghiệm kép 

Trường hợp 3. Nếu Δ>0 hoặc (Δ′>0) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

5. Bài tập về công thức nghiệm thu gọn

Câu 1: Giải phương trình x² - 5x + 4 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x² - x + 2 = 0

Lời giải:

+ Tính Δ = (-1)² - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x² - 4x + 4 = 0.

Lời giải:

+ Tính Δ = (-4)² - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Câu 4: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

a. 4x² + 4x +1 = 0

b. 13852x² -14x +1 =0

Lời giải:

Do đó phương trình có nghiệm kép:

Do đó phương trình vô nghiệm.