Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

I. Lý thuyết về trường hợp đồng dạng của tam giác cần nhớ

Trước khi bước vào tìm hiểu về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, Top lời giải sẽ giúp các bạn hệ thống lại các kiến thức về các trường hợp đồng dạng của tam giác bất kì. Từ đó làm cơ sở để hiểu được kiến thức mới dễ dàng hơn.

Để có thể chứng minh và giải quyết các bài toán đồng dạng, các bạn học sinh cần ghi nhớ những kiến thức về tính chất cơ bản như định lý Ta-lét,đường phân giác, các trường hợp đồng dạng ( c-c-c; c-g-c; g-g-g-).

Định lý Ta-lét trong tam giác

- Định lý Ta-lét thuận: Một cạnh của tam giác song song với một đường thẳng và cắt nhau bởi hai cạnh còn lại thì có chiều dài các đoạn tỉ lệ với nhau tương ứng.

- Định lý Ta-lét đảo: Nếu hai cạnh của một tam giác cắt một đường thẳng song song với cạnh còn tại thì tạo thành một tam giác mới tỉ lệ với ba cạnh của tam giác cũ.

- Hệ quả định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại của tam giác đó thì sẽ tạo thành một tam giác mới có các cạnh tỉ lệ với các cạnh của tam giác cũ.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác

- Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh : Các cạnh của tam giác này tỉ lệ tương ứng với các cạnh của tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng

- Trường hợp cạnh – góc – cạnh: Hai cạnh của một tam giác này tỉ lệ tương ứng với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi hai cạnh đó bằng nhau thì sẽ có hai tam giác đồng dạng.

- Trường hợp góc – góc – góc : Nếu hai góc của tam giác này bằng với hai góc của tam giác khác thì hai tam giác đó đồng dạng ( bởi tổng ba góc của tam giác luôn bằng 180o nên chỉ cần chứng minh hai góc của hai tam giác bằng nhau là đủ).

II . Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

1. Điều kiện để hai tam giác vuông đồng dạng

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam vuông đồng dạng

Định lý 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Tổng quát: Δ ABC,Δ A'B'C', Aˆ = A'ˆ = 900; B'C'/BC = A'B'/AB

=>  Δ ABC ∈ Δ A'B'C'.

3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Định lý 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Định lý 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

4. Mở rộng

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

+ Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ: Cho tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = 4/3. Tính chu vi của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác A'B'C' bằng 27cm.

Hướng dẫn:

Ta có Δ ABC ∈ Δ A'B'C'

5. Một số dạng bài tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Để có thể giải các bài toán một cách dễ dàng, người ta chia thành các dạng toán nhỏ để có phương pháp làm riêng.

Dạng 1: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng để tính toán

- Chứng minh hai tam giác đồng dạng

- Suy ra các tỉ lệ cạnh, chiều cao, diện tích cần thiết cho bài toán

- Tính theo yêu cầu đề bài

Dạng 2: Chứng hệ thức từ các dữ liệu cho sẵn – Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

- Đọc đề bài và liên kết các yếu tố có liên quan tới tính chất để áp dụng

- Chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra hệ thức cần chứng minh

III. Bài tập ví dụ 

Bài 1: 

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, lấy điểm D bất kì thuộc BC, một đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại E và F.

Bài giải:

Bài 2: Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC và các đường cao DF và EG của tam giác ADE.

Bài giải: