Các dạng toán hình học lớp 5 có lời giải cực hay

Dạng 1: Các bài toán về nhận dạng các hình 

- Nối hai điểm A, B ta được đoạn thẳng AB

- Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc.

Hình tam giác ABC có 3 đỉnh là A, B, C ; Có 3 cạnh là AB, BC và CA; Có 3 góc là góc A,góc B và góc C.

- Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc .Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là A, B, C và D ; Có 4 cạnh là AB, BC, CD và DA ; Có 4 góc là góc A, góc B và góc D

- Hình vuông có 4 góc vuông và có 4 cạnh bằng nhau.

- Hình chữ nhật ABCD có 4 góc vuông ; Hai cạnh AD và BC là chiều dài, hai cạnh AB và CD là chiều rộng.     

Ví dụ 1 : Cho hình chữ nhật ABCD. Chia mỗi cạnh AD và BC thành 4 phần bằng nhau, AB và CD thành 3 phần bằng nhau, rồi nối các điểm chia như hình vẽ.

Ta đếm được bao nhiêu hình chữ nhật trên hình vẽ?

Giải :

       Trước hết Ta xét các hình chữ nhật tạo bởi hai đoạn AD, EP và các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD và BC. Bằng cách tương tự như trong ví dụ 1 ta tính được 10 hình.

       Tương tự ta tính được số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn EP và MN, do MN và BC đều bằng 10.

       Tiếp theo ta tính số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn AD và MN, EP và BC với các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD và BC đều bằng 10. 

Vì vậy :

       Số hình chữ nhật đếm được trên hình vẽ là :

                                10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 (hình)

                                                                                Đáp số 60 hình.

Ví dụ 2 :Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta được 5 hình tứ giác ?

Giải :

Nếu ta chỉ có 4 điểm ( trong đó không có 3 điểm nào cùng nằm trên 1 đoạn thẳng) thì nối lại chỉ được 1 hình tứ giác.                  

- Nếu ta chọn 5 điểm, chẳng hạn A, B, C, D, E (trong đó không có 3 điểm  nào nằm trên cùng một đoạn thẳng) thì :

- Nếu ta chọn A là 1 đỉnh thì khi  chọn thêm 3 trong số 4 điểm còn lại B, C, D, E và nối lại ta sẽ được một tứ giác 

có một đỉnh là A. Có 4 cách chọn 3 điểm trong số 4 điểm B, C, D, E để ghép với A. Vậy có 4 tứ giác đỉnh A.

- Có 1 tứ giác không nhận A làm đỉnh, dó là BCDE. Từ kết quả trên đây ta suy ra 

Khi có 5 điểm ta được 5 tứ giác.

Vậy để có 5 hình tứ giác ta cần ít nhất 5 điểm khác nhau (trong đó không có 3 điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng)

Dạng 2: Các bài toán về diện tích các hình

1. Hình tam giác

- Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh. Đỉnh là điểm 2 cạnh tiếp giáp nhau. Cả 3 cạnh đều có thể lấy làm đáy.

- Chiều cao của hình tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đắy và vuông góc với đáy. Như vậy mỗi tam giác có 3 chiều cao.

Công thức tính :

S = (a x h) : 2

h = s x 2 : a

a = s x 2 : h

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau (hoặc đáy chung), chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao).

- Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chiều cao của 2 tam giác ứng với 2 cạnh đắy bằng nhau đó cũng bằng nhau.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi đáy tam giác P gấp đáy tam giác Q gấp chiều cao tam giác P bấy nhiêu lần.

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh AB dài 24 cm, cạnh AC dài 32 cm. Điểm M nằm trên cạnh AC. Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC tại N. Đoạn MN dài 16 cm. Tính đoạn MA.

Giải :

Nối AN. Ta có tam giác NCA có NM là  đường cao vì MN //  AB nên MN cũng  vuông góc CA

Diện tích tam giác NCA là

                32 x 16 : 2 = 256 (cm²)                           

Diện tích tam giác ABC là :

                24 x 32 : 2 = 348 (cm²)

Diện tích tam giác NAB là                                                             

                384 – 256 = 128 (cm²)

Chiều cao NK hạ từ N xuống AB là :

                128 x 2 : 24 =  10 ^⅔(cm)    

Vì MN || AB nên tứ giác MNBA là hình thang vuông. Do vậy MA cũng bằng  10 ^⅔ cm

Đáp số 10 ^⅔  cm

Ví dụ 2 :  Tam giác ABC có diện tích là 90 cm², D là điểm chính giữa AB. Trên AC lấy điểm E sao cho AE gấp đôi EC. Tính diện tích AED.

Lời giải

+ Nối DC ta có 

(vì cùng chiều cao hạ từ C xuống AB và đáy DB = DA = 90 : 2 = 45 cm²)

Đáp số SAED = 30 cm²

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên cạnh AC lấy AN bằng 1/2 NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Hãy tính diện tích tam giác AKC? Biết diện tích tam giác KAB bằng 42 dm².

Lời giải 

Nối AK,ta có

+ S_CAM = S_CMB (vì có cùng chiều cao hạ từ C xuống AB, đáy MA = MB)

- Mà S_KAM = S_KBM (vì có cùng chiều cao hạ từ K xuống AB, đáy MA = MB)

- Vậy S_AKC = S_BKC (vì cùng là hiệu của hai tam giác có diện tích bằng nhau)

     + S_KAN = ½ S_KCN (vì cùng chiều cao hạ từ K xuống AC, đáy AN = ½ NC)

            Nếu coi A, C là đỉnh thì 2 tam giác có diện tích gấp đôi mà chung đáy (AK) vậy chiều cao cũng phải gấp đôi nhau. Do đó : 

                AI = ½  CH.

 - S_AKB = S_CKB (chung đáy BK, chiều cao AI = ½ CH)

Vậy S_AKC = S_BKC = S_ABK x 2 = 42 x 2 = 84 (dm²) 

2. Hình thang 

- Một tứ giác có hai cạnh đáy lớn, đáy bé song song với nhau gọi là hình thang (Hình vuông, hình chữ nhật cũng coi là dạng hình thang đặc biệt)

- Đoạn thẳng giữa hai đáy của hình thang và vuông góc với hai đáy là đường cao của hình thang. Mọi chiều cao của hình thang đều bằng nhau.

     + Các loại hình thang

- Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với hai đáy của hình thang. Hình thang vuông có hai góc vuông.

- Hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau.

- Các hình thang không có điều đặc biệt trên gọi là hình thang thường

S = (a + b) x h : 2

h = S x 2 : (a + b)

a + b = S x 2 : h

Ví dụ 1 : Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB là 27 cm, đáy lớn CD là 48 cm. Nếu kéo dài đáy nhỏ thêm 5 cm thì diện tích của hình tăng 40 cm². Tính diện tích hình thang đã cho.

Lời giải

Cách 1

Tam giác CBE có : Đáy BE = 5cm, chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD

Vậy chiều cao của hình thang ABCD là : 40x 2 : 5 = 16 (cm)

Diện tích hình thang ABCD là : (27+48) x 16 : 2 = 600(cm²)

Cách 2 

 Tổng hai đáy hình thang  gấp đáy BE là : (27 + 48) : 5 = 15 (lần)

Hai hình (thang và tam giác) có chiều cao chung nên diện tích hình thang gấp 15 lần diện tích ∆ BCE

Diện tích tam giác BCE là : 40 x 15 = 600 (cm²)

Ví dụ 2 : Một thửa ruộng hình thang có diện tích là 361,8 m². Đáy lớn hơn đáy nhỏ là 13,5 m. Hãy tính độ dài của mỗi đáy, biết rằng nếu tăng đáy lớn thêm 5,6 m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 3,6 m². 

Lời Giải :

Chiều cao của hình thang là :                         

                33,6 x 2 : 5,6 = 12 (m)

Tổng hai đáy hình thang là :

                361,8 x2 : 12 = 60,3 (m)

đáy nhỏ của hình thang là :

(60,3 – 13,5) : 2 = 23,4 (m)

Đáy lớn của hình thang là :                                                  

                23,4 + 13,5 = 36,9 (m).

Ví dụ 3 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD là 20 cm, đáy nhỏ AB là 15 cm. M là một điểm trên AB cách B là 5 cm. Nối M với C. Tính diện tích hình thang mới AMCD. Biết diện tích tam giác MBC là 280 cm².

Giải :       

Cách 1

Đáy mới AM là :

15 – 5 = 10 (cm)

Tổng hai đáy AM và CD là :

10 + 20 = 30 (cm)                                                                                       

Chiều cao hình thang ABCD là :

280 x 2 : 5 = 112 (cm)                                       

Diện tích hình thang ABCD là :

30 x 112 : 2 = 1680 (cm²)

Cách 2

Nối A với C 

Ta có đoạn AM  là : 15 – 5 = 10 (cm)

Diện tích tam giác ACM gấp 2 lần điện tích tam giác MCB Þ Diện tích tam giác ACM = 280 x 2 = 560 (cm²) (vì AM gấp BM hai lần và đường cao hai tam giác bằng nhau)

∆ DAC và ∆ MCB có :

DC gấp MB là:  20 : 5 = 4 ( lần)

Đường cao chung nên diện tích tam giác DAC gấp diện tích tam giác MCB 4 lần.

Diện tích tam giác ADC là :

                                280 x 4 = 1120 (cm2)

Dạng 3: Các bài toán về cắt ghép hình 

  Các bài toán về cắt ghép hình thường gặp dưới hai dạng :

1) Bằng một số nét kẻ hãy chia một hình cho trước ra thành những phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước.

2) Bằng một số nhất cắt hãy chia một hình cho trước thành hững mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình có hình dạng cho trước.

Phương pháp chung để giải các bài toán này, ta sẽ minh hoạ bằng các ví dụ cụ thể dưới đây.

Bài 1 : Hãy chia một hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau ?

Lời  Giải :

Xuất phát từ nhận xét :

- Hai tam giác có cùng chiều cao và số đo của đáy bằng nhau thì bằng nhau.

- Hai tam giác có chung đáy và số đo của đường cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau.

Ta giải bài toán trên .

 Trước hết ta kẻ đường chéo AC để hình chữ nhật thành hai tam giác códiện tích bằng nhau.      

Bây giờ ta chia mỗi tam giác ABC và ADC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Như vậy ta được một lời giải của bài toán.

Cách 1

Chọn AC làm đáy chung của 2 tam giác bằng nhau có cùng đường cao hạ từ B (và từ D) xuống AC thì phải chia  đáy AC thành 2 phần bằng nhau bởi điểm O. Nối BO và DO ta được các tam  giác ABO, BOC, COD và DOA thoả  mãn các điều kiện của đề bài. 

Cách 2

Chọn 2 cạnh BC và AD làm đáy của 2 tam giác sẽ chia ra. Như vậy các tam giác được chia ra từ tam giác ABC có chung đường cao AB cho nên ta phải chia đáy BC thành 2 phần có số đo bằng nhau bởi điểm M.Tương tự chia AD bởi điểm N. Nối AM, CN ta được 4 tam giác ABM, AMC, CAN và CND thoả mãn điều kiện của đề bài            

Cách 3

Chọn hai cạnh AB và CD làm đáy của tam giác sẽ chia ra. Như vậy các tam giác được chia từ tam giác ABC có chung đường cao CB thành 2 phần có số đo bằng nhau bởi điểm P. Tương tự ta chia CD thành 2 phần bởi điểm H. Nối CP và AH ta được 4 tam giác ACP, CPB, ADH, và AHC thoả mãn điều kiện đề bài. 

Cách 4

Phối hợp cách 1 và cách 2 như hình vẽ

Hình tròn 

- Các công thức :

                                    C = d x 3,14

                                                C = r x 2 x 3,14

                                                S = r x r x 3,14

                                                r = C : 3,14 : 2

- Hai hình tròn có bán kính (hoặc đường kính) gấp nhau bao nhiêu lần thì chu vi của chúng cũng gấp nhau bao nhiêu lần.

- Hai hình tròn có tỉ số chu vi là k thì tỉ số bán kính (hoặc đường kính) bằng k thì tỉ số diện tích của chúng là k x k

Ví dụ 1 : Tìm diện tích hình vuông biết diện tích hình tròn là 50,24 cm².

Lời giải:

Gọi r là bán kính của hình tròn

Diện tích của hình tròn là :

         r x r x 3,14

Theo bài ra ta có :

r x r x 3,14 = 50,24

r x r = 16

r x r = 4 x 4

Þ r = 4

Số đo đoạn thẳng BD là : 4 x 2 = 8 (cm)

Diện tích tam giác ABD là :

Diện tích hình vuông ABCD là : 16 x 2 = 32 (cm²)

Ví dụ 2  : Hình tròn A có chu vi 219,8 cm, hình tròn B có diện tích 113,04 cm². Hình tròn nào có bán kính lớn hơn?

Lời Giải :

Bán kính hình tròn A là :

219,8 : 3,14 : 2 = 35 (cm) = 3,5 dm.

Gọi r là bán kính hình tròn B ta có :

r x r = 113,04 : 3,14 = 36 (dm)

=> r = 6 dm

Vì 6 > 3,5 nên bán kính hình tròn B lớn hơn bán kính hình tròn A

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương , hình trụ

– Hình hộp chữ nhật :

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là các hình chữ nhật, có 3 kích thước là chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c.

                                S_xq = P_mđ  x h = (a + b) x 2 x c

                                S_TP = S_xq + S_2đ  = S_xq + a + b x 2

                                V = a x b x c

– Hình lập phương

Hình lập phương có 6 mặt là các hình vuông bằng nhau. Tất cả các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau.

                                Sxq = a x a x 4

                                STP = a x a x 6

                                V = a x a x a

– Hình trụ

Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau

                                Sxq = r x 2 x 3,14 x h

                                STP = Sxq + r x r x 3,14 x 2

                                V = r x r x 3,14 x h

Ví dụ 1 : Có 27 hình lập phương, mỗi hình có thể tích 8 cm³. Xếp 27 hình đó thành một hình lập phương lớn. hỏi hình lập phương lớn có cạnh là bao nhiêu?

Lời Giải :

Ta có :  8 = 2 x 2 x 2

Vậy mỗi hình lập phương nhỏ có đáy bằng 2 cm.

Xếp 27 hình lập phương nhỏ thành một hình lập phương lớn có 3 tầng mỗi tầng có 3 hàng, mỗi hàng có 3 hình lập phương nhỏ.

Nên cạnh của hình lập phương lớn là : 2 x 3 = 6 (cm)

Đáp số 6 cm

Ví dụ 2 : Có 8 hình lập phương, mỗi hình có cạnh bằng 2 cm. Xếp 8 hình đó thành 1 hình lập phương lớn. Tìm diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương lớn.

Lời Giải :

8 hình lập phương ta xếp thành hình lập phương lớn bao gồm có 2 tầng mỗi tầng có 4 hình lập phương nhỏ

  Cạnh của hình lập phương nhỏ là 2 nên cạnh của hình lập phương lớn là :

             2 x 2 = 4 (cm)

Diện tích xung quanh là :

           4 x 4 x 4 = 64 (cm²)

Diện tích toàn phần là :

           4 x 4 x 6 = 96 (cm²)

Thể tích là :

           4 x 4 x 4 = 64 (cm²)

Ví dụ 3 : Một phiến đá hình hộp chữ nhật có chu vi đáy bằng 60 dm, chiều dài bằng 3/2 chiều rộng và chiều cao bằng 1/2 chiều dài. Phiến đá cân nặng 4471,2 kg. Hỏi 1 dm³ đá nặng bao nhiêu ki lô gam?

Lời Giải :

Nửa chu vi phiến đá là :

                60 : 2 = 30 (dm)

Chiều dài của phiến đá là :

                30 : (3 + 2) x 3 = 18 (dm)

Chiều rộng của phiến đá là :

                30 – 18 = 12 (dm)

Chiều cao của phiến đá là :

                18 : 2 = 9 (dm)

Thể tích của phiến đá là :

                18 x 12 x 9 = 1944 (dm³)

1 dm3 đá nặng là :

                4471,2 : 1944 = 2,3 (kg)

đáp số 2,3 kg

Ví dụ 4 : Xếp 8 hình lập phương nhỏ có cạnh 4 cm thành một hình lập phương lớn rồi sơn tất cả các cạnh của hình lập phương lớn. Hỏi mỗi hình lập phương nhỏ có mấy mặt được sơn và diện tích được sơn của mỗi HLP nhỏ là bao nhiêu?

Lời Giải :

Xếp 8 HLP nhỏ thành 1 HLP lớn gồm 2 tầng, mỗi tầng gồm 4 hình lập phương nhỏ, vì thế mỗi HLP nhỏ đều có 3 mặt được ghép với các hình lập phương khác. Các mặt được ghép không được sơn. Vì HLP có 6 mặt nên số mặt được sơn là :

                6 – 3 = 3 (mặt)

                Diện tích một mặt của HLP nhỏ là :

                                4 x 4 = 16 (cm²)

                Diện tích mỗi HLP nhỏ được sơn là :

                                16 x 3 = 48 (cm²)

                                Đáp số 48 cm²

Ví dụ 5: Một hình chữ nhật có chiều cao 6 dm. Nếu tăng chiều cao thêm 2 dm thì thể tích hộp tăng thêm 96 dm3. Tính thể tích hộp.

Lời Giải :

Cách 1

Diện tích đáy của hộp chữ nhật là :

                                                96 : 2 = 48 (dm²)

Thể tích hộp chữ nhật là :

                                                48 x 6 = 228 (dm³)

Cách 2

6 dm so với 2 dm thì gấp :

                                                6 : 2 = 3 (lần)

Phần tăng thêm và hình hộp chữ nhật có chung diện tích đáy và chiều cao hình hộp chữ nhật gấp 3 lần phần tăng thêm nên thể tích hình hộp chữ nhật cũng phải gấp 3 lần thể tích tăng thêm.

vậy thể tích hình hộp chữ nhật là :

                96 x 3 = 288 (dm³)

                                                Đáp số : 288 dm³