Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nâng cao

Tuyển tập các bài toán đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nâng cao, có hướng dẫn giải.

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là 2 tam giác cân có chung đáy BC. I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh: BC ⊥ mp(ADI).

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. CM: AH ⊥ mp(BCD)

Giải:

a) Chứng minh BC ⊥ mp(ADI):

ΔABC và ΔDBC cân và I là trung điểm BC nên:

BC ⊥ AI

BC ⊥ DI

⇒ BC ⊥ (ADI)

b) Chứng minh AH ⊥ mp(BCD):

Ta có: * ID ⊥AH(gt) (1)

* BC ⊥(ADI) (cmt)

⇒BC ⊥AH và  AH ⊂ (ADI) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ mp(BCD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB =SC = SD

Chứng minh rằng:

a) SO ⊥ mp(ABCD), với O là giao điểm của AC và BD.

b) AC ⊥ mp(SBD) và BD ⊥ mp(SAC).

c) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CM: IJ ⊥ (SBD).

Giải

a) CM: SO  mp(ABCD):

Ta có: ΔSAC và ΔSBD cân tại S (gt)

⇒SO ⊥ AC và SO ⊥ BD

⇒ SO ⊥ mp(ABCD)

b) *CM: AC ⊥ mp(SBD)

Ta có: AC ⊥ BD (2 đường chéo của hình thoi) và AC ⊥SO (cmt)

⇒AC ⊥ mp(SBD)

c) IJ ⊥ (SBD):

Ta có: IJ // AC (IJ là đ. trung bình ΔABC)

Mà: AC ⊥ mp(SBD) ( cmt)

⇒ IJ ⊥ mp(SBD)

BÀI 3:Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC). C/minh: 

a) H là trực tâm tam giác ABC.

b) 

Giải:

a) CM: H là trực tâm ΔABC:

Ta có: OA ⊥OB  và OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC)⇒ OA ⊥ BC   (1)

OH ⊥ mp(ABC) ⇒ OH ⊥ BC (2)

Từ (1)& (2) ⇒ BC ⊥ (AOH)

⇒ BC ⊥ AH

C/m tương tự ta được: AB ⊥ CH

Suy ra: H là trực tâm ΔABC.

b) CM: 1/ OH² = 1/ OA² + 1/OB² + 1/OC²

Gọi I là giao điểm của AH và BC.

Ta có: OA ⊥ mp(OBC) ⇒ OA ⊥OI

⇒ ΔAOI vuông tại O, có OH là đường cao nên: 1/ OH² = 1/ OA² + 1/ OI² ( 3)

BC ⊥(AOH) ⇒ BC ⊥ OI

⇒ΔBOC vuông tại O, có OI là đường cao nên: 1/ OI² = 1/ OB² + 1/ OC² (4)

Từ 3 & 4 ⇒ 1/ OH² = 1/ OA² + 1/OB² + 1/OC²

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I và K là 2 điểm lấy trên 2 cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SD/ SD.

Chứng minh:

a) BD ⊥ SC

b) IK ⊥ mp(SAC)

Giải : 

a) BD ⊥ SC

BD ⊥ AC (2 đường chéo hình thoi)

BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)

⇒ BD ⊥ (SAC)

⇒ BD ⊥ SC

b) IK ⊥ (SAC):

Ta có: SI/SB = SD/ SD⇒ IK // BD

Mà BD ⊥ (SAC)  ⇒ IK ⊥ (SAC)

Ra thêm 1) Cho tứ diện ABCD. CMR nếu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD thì BC ⊥AD.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).

Suy ra BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên mp(BCD).

Ta có:*CD ⊥ AB ⇒CD ⊥ BH (Đlí 3 đường vuông góc)

*BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ CH (Đlí 3 đường vuông góc)

Vậy H là trực tâm tam giác BCD.

Suy ra: BC ⊥ DH

Mà DH là hình chiếu của AD trên mp(BCD) nên BC⊥AD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABCD).

b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.

Hướng dẫn:

a) CM: SH ⊥(ABCD):

♦Dùng đl đảo đl Pitago cm: BC ⊥ SB

♦BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥SH (1)

Mặt khác: AB ⊥SH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SH ⊥ (ABCD

b) CM AC ⊥ SK và CK ⊥ SD:

♦ CM AC ⊥ SK

Ta có:  HK // DB và  AC⊥  DB⇒ HK ⊥AC (1)

SH ⊥ (ABCD) và  AC ⊂ (ABCD) ⇒SH ⊥AC (2)

Từ (1) & (2) ⇒ AC ⊥(SHK)

⇒ AC ⊥SK

♦ CM CK ⊥ SD:

Ta cm được: CK ⊥ DH (1)

SH⊥ (ABCD) và  CK ⊥ (ABCD)⇒ CK ⊥ SH (2)

Từ (1) & (2) ⇒ CK ⊥ SD.