logo

[Sách mới] Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Hướng dẫn Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học ngắn gọn nhất bám sát nội dung SGK Toán 10 trang 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 bộ Cánh diều theo chương trình sách mới.

Bài 1: Mệnh đề toán học - Toán 10 Cánh diều


Khởi động

Trả lời câu hỏi trang 5 Toán lớp 10 Tập 1: Bạn H’Maryam phát biểu: “Số 15 chia hết cho 5.”, bạn Phương phát biểu: “Việt Nam là một nước ở khu vực Đông Nam Á.”.

Trong hai phát biểu trên, phát biểu nào là mệnh đề toán học? 

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Lời giải:

Ở bài đầu tiên trong chương trình toán lớp 10 này, chúng ta được tìm hiểu về mệnh đề toán học.

Ta thấy phát biểu của bạn H’Maryam là một mệnh đề khẳng định về một sự kiện trong toán học, vậy phát biểu này là mệnh đề toán học. 

Còn phát biểu của bạn Phương không phải là mệnh đề toán học. 


1. Mệnh đề toán học

Hoạt động 1

a) Phát biểu của bạn H’Maryam có phải là một câu khẳng định về tính chất chia hết trong toán học hay không?

b) Phát biểu của bạn phương có phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học hay không?

Lời giải:

a) Phát biểu của bạn H’Maryam là một mệnh đề khẳng định về một sự kiện trong toán học nói về tính chất chia hết. Ta gọi đây là mệnh đề toán học.

b) Phát biểu của bạn Phương không phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học. 

Luyện tập – Vận dụng 1 

Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.

Lời giải:

- “Tổng ba góc trong tam giác bằng  ” (Phát biểu đúng)

- “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 10” (Phát biểu sai)

- Tổng các góc của một tứ giác bằng 360∘

- Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Hoạt động 2 

Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mênh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?

P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180o

Q: “√22 là số hữu tỉ”

Lời giải:

Mệnh đề P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180o” đúng.

Mệnh đề Q: “√22 là số hữu tỉ” sai vì √22 là số vô tỉ, không phải một số hữu tỉ.

Luyện tập – Vận dụng 2

Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Lời giải:

Ví dụ:

Lấy các ví dụ về mệnh đề đúng, mệnh đề sai:

Góc nhọn là góc có số đo lớn hơn 0∘ và nhỏ hơn  90 - Mệnh đề đúng

0 là hợp số. - Mệnh đề sai

“2 là số tự nhiên” – Mệnh đề đúng

“Trong một tam giác, đường cao luôn bằng đường trung tuyến kẻ từ cùng một đỉnh” – Mệnh đề sai.


2. Mệnh đề chứa biến

Hoạt động 3

Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Ta có thể khẳng định được tính đúng sai của câu trên hay không?

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

c) Với n = 10 thì câu ”10 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

Lời giải:

a) Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu “n chia hết cho 3” do chưa có giá trị cụ thể của n.

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học. Mệnh đề này đúng.

c) Với n = 10 thì câu “10 chia hết cho 3” cũng là một mệnh đề toán học. Mệnh đề này là mệnh đề sai vì 10 không chia hết cho 3. 

Luyện tập - Vận dụng 3

Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.

Lời giải:

Chẳng hạn P(n): “2n lớn hơn 10”, là một mệnh đề chứa biến.


3. Phủ định của một mệnh đề

Hoạt động 4

Hai bạn Kiên và Cường đang tranh luận với nhau.

Kiên nói: “Số 23 là số nguyên tố”.

Cường nói: “Số 23 không là nguyên tố”

Em có nhận xét gì về hai câu phát biểu của Kiên và Cường?

Lời giải:

Hai câu phát biểu của Kiên và Cường đều là các mệnh đề toán học và hai câu này có ý nghĩa trái ngược nhau.

Số 23 là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và 23 nên đây là số nguyên tố, do đó phát biểu của Kiên là mệnh đề đúng và phát biểu của Cường là mệnh đề sai. 

Luyện tập - vận dụng 4

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “5,15 là một số hữu tỉ”;

Q: “2 023 là số chẵn”.

Lời giải:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học
Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

4. Mệnh đề kéo theo

Hoạt động 5

Xét hai mệnh đề:

P: “Số tự nhiên n chia hết cho 6”; Q: “Số tự nhiên n chia hết cho 3”.

Xét mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”.

Mệnh đề R có dạng phát biểu như thế nào?

Lời giải:

Thay : “số tự nhiên n chia hết cho 6” bới P, “số tự nhiên n chia hết cho 3” bởi  Q, ta được mệnh đề R có dạng: “Nếu P thì Q”

Luyện tập – Vận dụng 5

Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P⇒Q.

Lời giải:

P: "Ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng";

Q: "Ba điểm A, B, C thẳng hàng".

P ⇒ Q: "Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng thì ba điểm A, B, C thẳng hàng". 


5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Hoạt động 6

Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng P⇒Q như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có AB2+AC2=BC2"

Phát biểu mệnh đề Q⇒P và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P.

Lời giải:

P: “tam giác ABC vuông tại A”

Q: “tam giác ABC có AB2+AC2=BC2

+) Mệnh đề Q⇒P là “Nếu tam giác ABC có AB2+AC2=BC2 thì tam giác ABC vuông tại A”

+) Từ định lí Pytago, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A thì AB2+AC2=BC2

Và: Tam giác ABC có AB2+AC2=BC2 thì vuông tại A.

Do vậy, hai mệnh đề “P⇒Q” và “Q⇒P” đều đúng.

Luyện tập – Vận dụng 6

Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60o”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Lời giải:

P ⇒ Q: "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng 60". Mệnh đề đúng.

Q ⇒ P: "Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60∘ thì tam giác ABC đều". Mệnh đề đúng.

Mệnh đề tương đương: (sử dụng một trong số các cách sau)

"Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng 60"

"Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có ABC cân và có một góc bằng 60"

"Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60"

"Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60"


6. Kí hiệu ∀ và ∃

Hoạt động 7

Cho mệnh đề “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?

b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n đều chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?

Lời giải:

a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một phát biểu sai (vì 2 là số tự nhiên nhưng 2 không chia hết cho 3). Đây là một mệnh đề.

b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một phát biểu đúng (chẳng số 3 là số tự nhiên và 3 chia hết cho 3). Đây là một mệnh đề.

Hoạt động 8

Bạn An nói: "Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm"

Bạn Bình phủ định lại câu nói của bạn An: :"Có một số thực mà bình phương của nó là một số âm"

a) Sử dụng kí hiệu "∀" để viết mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu "∃" để viết mệnh đề của bạn Bình.

Lời giải:

a) Mệnh đề của bạn An viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “∀ x ∈ ℝ, x2 là một số không âm”.

b) Mệnh đề của bạn Bình viết dưới dạng sử dụng kí hiệu: “∃ x ∈ ℝ, x2 là một số âm”. 

Luyện tập – Vận dụng 7

Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3

b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề " ∃ x ∈ Z, x chia hết cho 3" là mệnh đề " ∀ x ∈ Z, x không chia hết cho 3".

b) Phủ định của mệnh đề "Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số" là mệnh đề "Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số".


Bài tập

Bài 1 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Lời giải:

Trong các phát biểu sau, phát biểu mệnh đề toán học là:

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm

b) Mọi số tự nhiên đều là số dương.

Bài 2 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

a) A: “5/1,2 là một phân số”.

b) B: “Phương trình x2+3x+2=0 có nghiệm”.

c) C: “22+23=22+3”.

d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề A: “ 5/1,2 là một phân số” là mệnh đề:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

không phải là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng.

b) 

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

c) 

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Ta có x2 + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 32 – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề phủ định của B sai.

d) 

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Sai vì 2025 = 15. 135, chia hết cho 15.

Bài 3 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:

P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P⇒Q. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”

b) Phát biểu mệnh đề Q⇒P: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”

Mệnh đề này sai, chẳng hạn n = 8 là số tự nhiên chia hết cho 8 nhưng n không chia hết cho 16.

Bài 4 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC cân”.

Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề P⇔Q bằng bốn cách.

Lời giải:

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng bốn cách như sau: 

Cách 1: “Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 2: “Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 3: “Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 4: “Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Bài 5 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Dùng kí hiệu “∀” hoặc “∃” để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Lời giải:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Bài 6 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Phát biểu các mệnh đề sau:

a) ∀x∈R, x2≥0

b) ∃x∈R, 1/x>x

Lời giải:

a) Mệnh đề: ∀x∈R, x2≥0 được phát biểu như sau: “Mọi số thực đều có bình phương không âm.

b) Mệnh đề: ∃x∈R, 1/x>x được phát biểu là: “Tồn tại số thực sao cho nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

Bài 7 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1

Đề bài

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) ∀x∈R, x2 ≠ 2x−2

b) ∀x∈R, x2 ≤ 2x−1

c) ∃x∈R, x+1x ≥ 2

d) ∃x∈R, x2−x+1<0

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề trên là:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai, thật vậy ta xét phương trình x2 = 2x – 2

⇔ x2 – 2x + 2 = 0

Đây là phương trình bậc hai với ∆' = (– 1)2 – 1 . 2 = – 1 < 0

Do đó phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Nghĩa là x2 ≠ 2x – 2 với mọi số thực x.

Vậy mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. 

b) Phủ định của mệnh đề trên là:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Mệnh đề “∃x∈R, x2 > 2x−1” đúng vì có x = 2 ∈ R : 22 > 2.2−1 hay 4>3 (luôn đúng).

c) Phủ định của mệnh đề trên là:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. Thật vậy, ta chỉ cần lấy bất kì một giá trị x để nhận được mệnh đề sai.

Chọn x = 4, ta thấy  4+1/4 = 4,25 > 2.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.

d) Phủ định của mệnh đề trên là:

Sách mới Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học

Mệnh đề “∀x∈R, x2−x+1 ≥ 0” đúng vì x2−x+1=(x−1/2)2+3/4 ≥ 0 với mọi số thực x.

>>> Xem toàn bộ: Soạn Toán 10 Cánh diều

-----------------------------

Trên đây Toploigiai đã cùng các bạn Soạn Toán 10 Bài 1 Cánh diều: Mệnh đề toán học theo chương trình sách mới. Chúng tôi hi vọng các bạn đã có kiến thức hữu ích khi đọc bài viết này. Toploigiai đã có đầy đủ các bài soạn cho các môn học trong các bộ sách mới Cánh Diều, Chân trời sáng tạo, Kết nối tri thức. Mời các bạn hãy click ngay vào trang chủ Toploigiai để tham khảo và chuẩn bị bài cho năm học mới nhé. Chúc các bạn học tốt!

icon-date
Xuất bản : 14/09/2022 - Cập nhật : 14/09/2022