Nghiệm không tầm thường là gì

Câu trả lời đúng nhất: Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Để hiểu rõ hơn về nghiệm không tầm thường mời các bạn tìm hiểu về kiến thức liên quan dưới đây.

1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận AX=O.AX=O.

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ x1Ac1+x2Ac2+...+xnAcn=O.

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm x1=x2=...=xn=0, nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

2. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất ẩn số có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn ẩn số.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn ẩn số luôn có nghiệm không tầm thường (giải pháp vô hạn)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có bao nhiêu phương trình ẩn số có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ khi định thức của ma trận hệ số là 0.

Hệ quả 3: Một hệ phương trình thuần nhất với một số phương trình bằng nhau chỉ có một nghiệm nhỏ (duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác không.

3. Cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập ker(A) = {

 € Rn   AX = 0 } là một không gian con của không gian vescto Rn và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất AX = O hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

 Mỗi cơ sở của Ker (A) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất dim (ker(A)) = n – r(A).

Vậy r(A) = r < n thì hệ thuần nhất có số vô nghiệm phụ thuộc n – r tham số.

4. Mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX=BAX=B có nn ẩn số. Khi đó hệ phương trình AX=OAX=O được gọi là hệ thuần nhất liên kết với hệ phương trình tổng quát đã cho.

+) Gọi X0X0 là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát;

+) Gọi {P1,P2,...,Pn−r(A)}{P1,P2,...,Pn−r(A)} là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết;

Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là X=X0+t1P1+t2P2+...+tn−r(A)Pn−r(A).

------------------------

Như vậy, chúng ta đã cùng nhau đi tìm hiểu xong về nghiệm không tầm thường, mong rằng trên đây là những kiến thức giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và đạt kết quả như mong muốn.