Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12:
Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm có y′=0 hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: y(xi).
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có:
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: x=0 ⇒ y=....⇒ A(0; .....).
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: y=0 ⇒ x=.....⇒ B(...;0).
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -4x3 + 16x = -4x(x2 - 4)
y' = 0 ⇔ -4x(x2 - 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2
Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
+ Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
3) Đồ thị:
+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:
y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 - 1 = -x4 + 8x2 - 1 = y(x)
⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).
+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).
b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
y' = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận :
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).
Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)
3) Đồ thị:
+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).
+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).
+ Đồ thị hàm số:
c) Hàm số
1) Tập xác định: D = R
2) Sự biến thiên:
+ y' = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)
y' = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).