Bài 53 (trang 221 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao):
Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x) = x4 + 2x2 - 1 .
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :
a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2
b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành
c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3
d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ;-6)
Lời giải:
b) Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ xo thỏa mãn :
f’(xo) = 0 ⇔ 4o3 + 4xo = 0 ⇔ 4xo(xo2 + 1) = 0 ⇔ xo = 0(yo = - 1)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y = (1) = 0(x – 0) ⇔ y = -1
c) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -1/8.x + 3, nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra : y’ = 8 ⇔ 4x3+ 4x – 8 = 0 ⇔ 4(x – 1)(x2+ x + 2) = 0 ⇔ x = 1
Theo câu a), ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y=2(4x-3)
d) Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; f(xo)) của độ thị (C) là :
y = f’(xo)(x - xo) + f(xo) ⇔ y = 4xo3 + 4xo)(x - xo) + xo4 + 2xo2 - 1
Vì tiếp tuyến phải đi qua A(0 ;-6) nên ta có :
-6 = (4xo3 + 4xo)(0 - xo) + xo4 + 2xo2 - 1
⇔ 3xo4 + 2xo2 - 5 = 0 ⇔ xo2 = 1 ; xo = ±1
Theo câu a) phương trình của hai tiếp tuyến lần lượt là:
y =2(4x-3) và y=-2(4x-3)
Cách 2 : phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ;-6) với hệ số góc bằng k là :y=kx-6
Để đường thẳng (1)là tiếp tuyến của độ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (c) ) thì ta phải tìm k sao cho :
Khử k từ hệ trên ta được :
3x4 + 2x2 - 5 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1
Suy ra k = ±8
Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : y=2(4x-3) và y=-2(4x+3)
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 11 nâng cao