Bài 11 (trang 161 SGK Đại số 10)
Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có :
Lời giải
Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.
a)Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C
= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C
= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C
= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C
= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C
= tan A. tan B. tan C
b)Cách 1:sin 2A + sin 2B + sin 2C
= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C
= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))
= 2.sin C. cos (A – B) - 2.sin C. cos (A + B)
= 2.sin C.[cos (A – B) - cos (A + B)]
= 2.sin C. 2.sin A. sin B
= 4. sin A. sin B. sin C
Cách 2: sin 2A + sin 2B + sin 2C
= sin (2π – (2B + 2C)) + sin 2B + sin 2C
= sin (2B + 2C) + sin 2B + sin 2C
= sin 2B.cos 2C + cos2B.sin 2C + sin 2B + sin 2C
= sin 2B.(cos 2C + 1) + sin 2C.(cos 2B + 1)
= 2.sinB.cosB.2sin2C + 2.sinC.cosC.2sin2B
= 4.sinB.sinC. (sinC.cosB + sinB.cosC)
= 4.sinB.sinC.sin(B + C)
= 4.sinB.sinC.sin(π – A)
= 4.sinB.sinC.sinA
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10