Bài 11 trang 161 SGK Đại số 10

Ôn tập cuối năm

Bài 11 (trang 161 SGK Đại số 10)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có :

1. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

Lời giải

Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.

a)Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C

= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C

= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C

= tan A. tan B. tan C

b)Cách 1:sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C

= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))

= 2.sin C. cos (A – B) - 2.sin C. cos (A + B)

= 2.sin C.[cos (A – B) - cos (A + B)]

= 2.sin C. 2.sin A. sin B

= 4. sin A. sin B. sin C

Cách 2: sin 2A + sin 2B + sin 2C

= sin (2π – (2B + 2C)) + sin 2B + sin 2C

= sin (2B + 2C) + sin 2B + sin 2C

= sin 2B.cos 2C + cos2B.sin 2C + sin 2B + sin 2C

= sin 2B.(cos 2C + 1) + sin 2C.(cos 2B + 1)

= 2.sinB.cosB.2sin2C + 2.sinC.cosC.2sin2B

= 4.sinB.sinC. (sinC.cosB + sinB.cosC)

= 4.sinB.sinC.sin(B + C)

= 4.sinB.sinC.sin(π – A)

= 4.sinB.sinC.sinA

Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 10